Hoy dedicamos el día a las matemáticas y os presentamos a los NÚMEROS NATURALES.
Los Números naturales están presentes en nuestra vida diaria, podemos escribir infinidad de ejemplos; ¿Cuántos años tienes? 17, ¿Cuántos días son una semana? 7, ¿Cuántos hermanos tienes? 3 .
Estos números nos indican conceptos o cosas reales que no pueden aparecer en porciones, o se tiene un hermano o se tienen dos pero no se tienen 2 hermanos y medio.
Estos números nos indican conceptos o cosas reales que no pueden aparecer en porciones, o se tiene un hermano o se tienen dos pero no se tienen 2 hermanos y medio.
Tenemos infinidad de números naturales, no podemos ni contarlos con los dedos ni escribirlos desde el primero hasta el último, por eso es un conjunto infinito.
El conjunto de todos ellos se conoce como N (incluimos al número 0), sólo se compone de números positivos (+1, +2...,+5...), tened en cuenta que es lo mismo +1 que 1 ya que un número que no lleve signo delante se sobreentiende que es un número positivo.
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
A estos números naturales anteriores se les llama Cardinales (con ellos contamos el número de elementos de una misma cosa).
Además de los cardinales existen los ordinales, que como la palabra ya indica expresan orden:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen
en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de
ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento
de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las
operaciones adición (conocida como suma) y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de
multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo
que se dice que son operaciones internas.
La sustracción (conocida como resta), sin embargo, no es una operación
interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser
un número natural
Por eso se creó el conjunto Z, que lo componen los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos, ya que permite la existencia de números negativos (-1, -2.... -5....).
Por eso se creó el conjunto Z, que lo componen los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos, ya que permite la existencia de números negativos (-1, -2.... -5....).
La división tampoco es una operación interna en
N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número
natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por
eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). Este nuevo conjunto permite la existencia de los números decimales (1,5..6,3...) positivos y negativos.
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7 + 4 = 4 + 7
11 = 11
11 = 11
Gracias a las propiedades asociativa y
conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números
naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a + 0 = a, es decir 5+0 = 5
La multiplicación de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del
producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · b = b · a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:
a · 1 = a, es decir, 5·1 = 5
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)5-3 = 2 pero 3-5 es -2, (para que nos entendamos, no es lo mismo tener 2 euros que deber 2 euros).
La Division de Numeros Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
10/5 =2 pero 5/10 =0.5
En esta imagen se ve el conjunto de los N, Z y Q y como los siguientes conjuntos que van apareciendo por necesidad humana incluyen a los ya existentes.
En esta imagen se ve el conjunto de los N, Z y Q y como los siguientes conjuntos que van apareciendo por necesidad humana incluyen a los ya existentes.
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